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素数定理(素数定理的式子是提出的)

     2023-04-14 12:21:56     33
6分钟前

本篇文章给大家谈谈素数定理,以及素数定理的式子是提出的对应的知识点,希望对各位有所帮助,不要忘了收藏本站喔。

素数定理是什么?

素数定理指的是对正整数x,不超过x的素数个数n(x)的规律。素数是指大于1的自然数中只能被1和自身整除的数。高斯提出n(x)等价于x/ln(x),ln是以e为底的自然对数。1896年法国数学家Hadamard和比利时数学家poussin分别给出了证明。此后Selberg和Erdos给出了该定理的初等证明(不利用复变函数等较深的数学方法)。

关于素数的数论定理

基本概念:素数又称质数,是指在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

唯一分解定理:一个数n肯定能被分解成 n=p1^a1 * p2^a2 . . .*pn^an(p是素因子,a是素因子的个数)

因为一个数肯定是由合数和质数构成的,合数又可以分解成质数和合数,最后递归下去就会变成质数的乘积

最后化成了质数相乘的形式

素数定理-欧几里得算法-乘法逆元

          素数定理给出的是估计素数个数的方法:

          设π(x)是小于x的素数的个数,则

          π(x)≈x/lnx

          eg:

               64位二进制表示的素数的个数为

              

     (1)欧拉定理

           提及欧拉定理,需要先引出欧拉函数的定义:

           欧拉函数Φ(n)是定义在正整数上的函数,Φ(n)的值等于序列0,1,2,3,…,n-1中与n互素的数的个数

           欧拉函数的性质:

                   (1)m的素数时,有Φ(m)=m-1

                   (2)m=pq,且p和q均是素数时,有Φ(m)=Φ(p)Φ(q)=(p-1)(q-1)

                   (3)若m和n互素,则Φ(m×n)=Φ(m)×Φ(n)

                   (4)若p是一个素数,则Φ(p^e)=p^e-p^(e-1)

                   (5)

         由欧拉函数可以延伸出欧拉定理的内容:

                    欧拉定理:

                              对于任何互素的两个整数a和n,有

                                        1(mod n) 

                              如果n=p是素数,则有

                                        1(mod p)

                             显然欧拉定理可以看成是费马定理的 *** 形式。

                    欧拉定理可以用来简化幂的模运算

                    Eg:

                           求 的后三位数字

                          解:     (mod 1000)的结果

                                 

                                       有 (mod 1000)

     (2)费马定理

           如果p是素数,a是正整数,且gcd(a,p)=1,那么

                   1(mod p)

          另一种形式:

               如果p是素数,a是任意正整数,则对gcd(a,p)=1,有

                   (mod p)

     (3)二次探测定理

          如果p是一个素数,且0xp,则方程 1(mod p)的解为 x = -1、p-1。

          即如果符合 1(mod p),那么p很有可能是素数,但是仍不能肯定p就是素数。

     (1)Wilson定理

          对于给定的正整数n,判断n是一个素数的充要条件是 -1(mod n)。

          虽然是充要条件,且Wilson的定理有很高的的理论介质。因为带有阶乘,在检测的时候计算量大,不适合检测较大素数的检测。

     (2)米勒-拉宾算法

          米勒-拉宾算法是一个多项式算法,能以接近概率1保证判断结果的正确性。

          Miller-Rabin(n)

          把n-1写成 ,其中m是一个奇数

          选取随机整数a,使得

               (mod n)

               If (mod n)

                    Return (‘n是素数’)

               End

               For i=0到k-1

                    If b≡-1(mod n)

                         Return (‘n是素数’)

                    Else

                         b=b^2(mod n)

                    End

               End

                    Return(‘n是合数’)

欧几里得算法描述:

          两个整数用a,b表示,商用q表示,余数用r表示

          Step1      取a,b较大者为a,较小者为b

          Step2      做除法,计算并保留余数r=mod(a,b)

          Step3      将原来的除数改做被除数,余数作为除数a=b,b=r

          重复Step1和Step2直到r=0,返回b

乘法逆元的定义:

          假设gcd(a,n)=1,则存在整数s,使得 (mod n),即s是a(mod n)的乘法逆元素。

     关于ax+by=d

          设a和b是两个正整数(至少有一个非零),d=gcd(a,b),则存在整数x和y使得ax+by=d成立,如果a、b互素,那 么存在整数x和y使得ax+by=1成立,此时可以求出ax≡1(mod b)中的x,即为逆元。

扩展欧几里得算法:

构造两个数列:

       

        Eg:

                 求28mod75的乘法逆元(a=75,b=28)

                      gcd(28,75)=1 所以存在逆元

                      75=2×28+19

                      28=1×19+9

                      19=2×9+1

                      9=9×1+0 

                      3×78+(-8)×28=1 

                      所以28mod75的乘法逆元为-8

    中国剩余定理完整版

           Eg:

                   已知下列同余方程组,求解x

                   第一步:求M

                         M=2×3×5×7=210

                   第二步:求

                       

                   第三步:求

                        1(mod )(i=1,2,...,k)

                   第四步:

                         (mod M)

                         (105×1×1+70×1×2+42×3×3+30×4×5)(mod 210)

                         173(mod 210)

素数定理是什么 素数定理的定义

1、素数定理(prime number theorem)是素数分布理论的中心定理。

2、关于素数个数问题的一个命题:设x≥1,以π(x)表示不超过x的素数的个数,当x→∞时,π(x)~Li(x)或π(x)~x/ln(x)。(Li(x)为对数积分)。

素数定理的介绍就聊到这里吧,感谢你花时间阅读本站内容,更多关于素数定理的式子是提出的、素数定理的信息别忘了在本站进行查找喔。

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